Historie podcastů

Posmrtný život ve starověkém Řecku

Posmrtný život ve starověkém Řecku

Ve starověkém Řecku další existence mrtvých závisela na jejich neustálém vzpomínání živými. Posmrtný život starých Řeků sestával z šedého a bezútěšného světa v době Homéra (8. století př. N. L.) A nejznámější je scéna z Homerova Odysea ve kterém se Odysseus setkává s duchem velkého válečníka Achilla v podsvětí, kde mu Achilles říká, že by byl raději pozemským otrokem než králem v podsvětí. V době Platóna (4. století př. N. L.) Se posmrtný život změnil v charakteru, takže duše byly lépe odměněny za své bolesti, jakmile opustily Zemi; ale jen do té míry, do jaké živí udržovali jejich paměť naživu.

Země mrtvých

Posmrtný život byl znám jako Hádes a byl šedým světem ovládaným Pánem mrtvých, známým také jako Hádes. V této mlhavé říši však existovaly různé úrovně existence, které mohli mrtví obývat. Pokud žili dobrým životem a pamatovali si je na živobytí, mohli si užívat slunečných radovánek Elysia; pokud byli zlí, pak padli do temnějších boxů Tartaru, zatímco pokud na ně zapomněli, věčně bloudili v bezútěšnosti země Hádes. Jak Elysium, tak Tartarus existovaly v době spisovatele Hesioda (současník Homéra), nebyly chápány stejným způsobem, jakým se staly.

Pokud by lidé žili dobrým životem a pamatovali si je na živobytí, mohli by si užívat slunečných radovánek Elysia.

V Platónově dialogu z Phaedo„Socrates vymezuje různé plošiny posmrtného života a dává jasně najevo, že duše, která se v životě věnuje dobru, je v budoucnosti odměněna mnohem příjemnější existencí než ti, kteří si dopřáli své choutky a žili jen pro potěšení, které svět může nabídnout. Jako většina lidí, tehdy i nyní, považovala své ztracené blízké za vzory lidské ctnosti (ať už ve skutečnosti byli nebo nebyli), považovalo se za povinnost člověka k mrtvým si je dobře pamatovat, bez ohledu na život, který žili, chyb, kterých se dopustili, a tím jim zajistili další existenci v Elysiu. Tato vzpomínka nebyla považována za záležitost osobní volby, ale spíše za důležitou součást toho, co Řekové znali jako Eusebia.

Zbožnost ve starověkém Řecku

Řecké slovo „Eusebia“ dnes překládáme jako „zbožnost“, ale eusebia byla mnohem víc než to: bylo povinností člověka vůči sobě samému, ostatním a bohům, kteří udržovali společnost na dobré cestě a vyjasnili si své místo v komunitě. Městský stát Athény například popravil Sokrata poté, co byl usvědčen z bezbožnosti za údajné zkažení aténské mládeže a mluvení proti zavedeným bohům. Jakkoli nespravedlivě dnes můžeme vidět Sokratův konec, ve skutečnosti by se provinil bezbožností v tom, že svým vlastním příkladem povzbudil aténskou mládež, aby vyslýchala jejich starší a sociální nadřízené. Toto chování by bylo považováno za bezbožné, protože mládež nejednala v souladu s eusebií, tj. Zapomínala na své místo a povinnosti ve společnosti.

Eusebia a posmrtný život

Stejným způsobem, jakým si člověk musel pamatovat na svou povinnost vůči druhým ve svém životě, si také musel pamatovat na svou povinnost vůči těm, kteří odešli ze života. Pokud někdo zapomněl uctít a zapamatovat si mrtvého, byl považován za bezbožného, ​​a přestože toto konkrétní porušení společenského chování nebylo trestáno tak přísně jako porušení Sokratova, bylo mu rozhodně přísně odsuzováno. Dnes, když vezmeme v úvahu náhrobky starověkých Řeků - ať už v muzeu nebo těsně pod Akropolí v Aténách - najdeme kameny s pohodlnými, běžnými výjevy: manžel sedí u stolu, zatímco mu jeho žena přináší večeři, muž vítáni svými psy po návratu domů. Tyto jednoduché scény nebyly pouze vyobrazením okamžiků, které si zesnulý v životě užíval; byly určeny k tomu, aby živě připomínaly živě, kdo ten člověk byl v životě, kdo ta osoba ještě byla nyní ve smrti, a aby zažehly světlo pokračující vzpomínky, aby `` mrtví '' žili věčně v blaženosti. Ve starověkém Řecku smrt nebyla poražena bohy, ale lidskou pamětí.

Máte rádi historii?

Přihlaste se k odběru našeho bezplatného týdenního e -mailového zpravodaje!

Poznámka přispěvatele: Tento článek byl poprvé publikován na webu Suite 101. C. 2008 Joshua J. Mark


Starověcí Řekové: Každodenní život, víry a mýty

Když někdo zemřel ve starověkém Řecku, byl by umyt. Do jejich úst byla vložena mince, která měla platit převozníkům, kteří převáželi mrtvé přes řeky v různých částech podsvětí. Když Řekové dobyli Egypt, přijali egyptskou tradici mumifikace. K pohřbívání svých mrtvých používali jednoduché boxy, jinak by zesnulí byli spáleni a jejich popel pohřben ve speciálním hrnci.

Hroby a náhrobky

Vstupy do hrobek, kde byli mrtví uloženi k odpočinku, byly z mramoru. Hlavy Gorgonů byly vytesány na dveře hrobky, aby zahnaly zlo. Hroby byly vyrobeny tak, aby zabránil zapomínání mrtvých, a někdy byly vyřezány obrázky, které zobrazovaly zesnulého s lidmi, které v životě znali.

Do hrobky rodina zesnulého umístila svým tělem cenné předměty, jako keramiku, šperky a mince. Věřilo se, že budou moci používat tyto objekty v Podsvětí. Rodiny každý rok navštěvovaly hrobky svých zemřelých příbuzných, přinášely oběti a zdobily hrobku.


Žít starověkou řeckou smrtí

První obřad průchodu neboli protéza znamená rozložení z těla. (Obrázek: Walters Art Museum/Public domain)

Vložení se do sandálů umírajícího Řeka

Staří Řekové měli o smrti určité představy. Jedním z nejcharakterističtějších motivů, které lidé nacházejí na starověkých řeckých náhrobcích, je podání ruky mezi živými a mrtvými. Obě postavy vždy projevují důstojný klid. O tom je řecká tragédie - dívat se smrti přímo do očí. Jako Řekové věděli, že se dějí hrozné věci, a také věděli, že když je postaví tváří v tvář, dokážou se s nimi vyrovnat a pokračovat v životě. Dalo by se předpokládat, že Řekové to pochopili správně.

Ale člověk se musí dát do sandálů umírajícího Řeka, aby to pochopil. Je to nepříjemná myšlenka, ale neunikne jí, pokud chce člověk naplno prožít odvrácenou stranu historie.

Role lékaře ve smrti

Předpokládejme, že jeden umírá v jednom domě#8217, obklopen jedním z jeho příbuzných, včetně malých dětí. Nebude po ruce žádný lékař, který by dával léky proti bolesti.

Lékař možná nabízel léčbu v dřívějších stádiích nemoci, ale jakmile se stalo nevyhnutelným, že může existovat pouze jeden výsledek, lékařská profese už neměla co nabídnout.

Je také extrémně nepravděpodobné, že by byl povolán lékař, který by vyřadil jednoho z utrpení způsobeného eutanazií, což je slovo řecké etymologie, které znamená ‘dobrá smrt ’, ale které nemá žádný starořecký ekvivalent. Ve skutečnosti Hippokratova přísaha, která byla pravděpodobně široce přijata, nařídila těm lékařům, kteří ji přijali, že nesmí podat jed nikomu, kdo o něj požádal, a nenavrhnout takový kurz. Doufejme tedy, že jedna z posledních nemocí bude krátká a bezbolestná.

Toto je přepis ze série videí Druhá strana historie: Každodenní život ve starověkém světě. Podívej se na to, Wondrium.

Role bohů ve smrti

Básník Keats má úžasnou linii Óda na slavíka: „Byl jsem napůl zamilovaný do snadné smrti“. Řekové pojali lehkou smrt v podobě boha Apollóna, který je přišel srazit svými takzvanými ‘jižními šípy ’. To je to nejlepší, co on nebo kterýkoli z bohů mohl nabídnout. Rozhodně neměli žádnou útěchu, aby někomu mohli dát.

V Euripidesově hře Hippolytus“Když Hippolytus umírá, rozloučila se s ním bohyně Artemis, které se věnoval výhradně celý život a se kterou měl velmi blízký vztah. Vysvětluje mu, že není dovoleno, aby božstvo bylo přítomno smrti, protože znečištění, které uvolní mrtvola, by ji poskvrnilo.

Jediným bohem, který se možná trochu zajímal o osud umírajících, je uzdravující Bůh Asclepius. Když Socrates přechází z tohoto světa do druhého v Platónově dialogu, Krito“Má na to:„ Vděčím za ptáka Asklépiovi. Podívejte se, že je zaplaceno. “ Kohouti byli obětováni Asklépiovi. Sokrates může naznačovat, že Asclepius usnadnil jeho odchod, i když je také možné, že pouze filozoficky naznačuje, že smrt je životem.

The First Rite of Passage: Prothesis

ve starověkém Řecku, jakmile jedna zemřela, ženy v jedné rodině začaly přitahovat pozornost a zvracet, takže všichni v sousedství věděli o zániku jednotlivce. Byly to také ženy, které se postaraly o jedno tělo a připravily jej k pohřbu. Zavřeli ústa a oči, přivázali podbradní pásek kolem jedné hlavy a brady, aby se zabránilo prohnutí čelisti, umyli celé tělo, namazali ho olivovým olejem, oblékli tělo a zabalili ho do navíjecího prostěradla odhalena pouze jedna hlava#8217s.

Potom položili tělo na gauč s jednou hlavou opřenou o polštář a jednou nohou otočenou ke dveřím. Když to všechno měli hotové, zazpívali na jednu čest dirge.

Toto je scéna, která je zobrazena na nejranějších řeckých vázách s figurální výzdobou. Říká se tomu protéza, což doslova znamená rozložení těla. Představuje první fázi procesu, která přenese jeden z tohoto světa do druhého, ‘ odsud sem tam#8217, jak to řekli Řekové. Mezitím příbuzní a přátelé volali do domu a přidali se k truchlení.

Druhý obřad průchodu: Ekphora

Druhým obřadem pasáže je ekphora. Ekphora znamená doslova ‘ provedení jednoho těla ’s ’ - konkrétně z jednoho domova#8217s do jednoho ’s místa pohřbu. Podle aténských zákonů ekphora muselo proběhnout do tří dnů od jedné smrti, i když v horkém počasí by se to pravděpodobně odehrálo mnohem dříve. The ekphora muselo proběhnout před východem slunce, aby to nevyvolalo veřejné obtěžování.

Pokud by byl někdo bohatý, jeho tělo by bylo přepravováno na voze nebo v kočáře taženém koňmi. Tato scéna je také zobrazena na nejranějších vázách s figurální výzdobou. Mohou být také zaměstnáni profesionální hrobníci, kteří unášejí mrtvolu a rozbíjejí půdu pro pohřeb. Tito profesionálové byli známí jako ‘ladder men ’ klimakophoroi, protože položili jedno tělo na žebřík, které nesli vodorovně.

Pokud by byli zaměstnáni profesionální pohřebáci, neměli by před touto fází žádný fyzický kontakt s rodinnými příslušníky. Řekové by byli šokováni a zděšeni myšlenkou předání jednoho těla profesionálům, aby jej připravili k pohřbu.

The Third Rite of Passage: Burial

Keramika byla jednou z nejvíce
společné hrobové dary pro mrtvé. (Obrázek: Britské muzeum/Veřejná doména)

Pohřební službu vedl jeden z příbuzných. Přítomni nebyli ani kněží. Kněží byli vyloučeni ze stejného důvodu, proč se Artemis nevyskytovala u umírajícího Hippolyta, aby nedošlo ke znečištění. Protože kdyby způsobili znečištění, mohli by ho přenést na bohy.

O podrobnostech pohřební služby není známo absolutně nic. Po pravdě řečeno, nebylo ani známo, zda existovala pohřební služba jako taková. Pokud byla vyslovena nějaká tradiční slova, nebyla zaznamenána. Provádělo se inhumace i kremace, přestože kremace, která byla nákladnější, byla považována za prestižnější. Pokud byl někdo spálen, jeden z příbuzných shromáždil popel a umístil jej do urny, kterou potom pohřbili spolu s hrobovými dary.

Nejčastějším hrobovým darem byla keramika. Ve skutečnosti proto tolik kvalitních řeckých váz přežilo neporušených-protože byly neporušené umístěny v zemi.

Postupem času však Řekové začali být skoupější. Je pravděpodobné, že pokud by někdo zemřel ve 4. století př. N. L., Dostal by jen pár olejových lahví známých jako lêkythoi naplněné olivovým olejem - olivový olej byl považován za luxusní zboží. Někteří Řekové však byli tak skoupí, že si koupili lêkythoi s menší vnitřní nádobou, která jim ušetří náklady na naplnění celé vázy olejem. Údajně si mysleli, že si toho mrtví nevšimnou.

Jakmile bylo naplnění hrobu hotové, postavili nad něj hrobovou značku. Po dokončení třetího a posledního obřadu se všichni truchlící vrátili do truchlícího domu na pamětní hostinu.

Pohřební zákony

Protože jedna mrtvola byla považována za zdroj znečištění - řecké slovo pro znečištění je miasma, což v angličtině znamená téměř totéž - jeden musel být pohřben mimo městské hradby. Ve starověkém Řecku byl pohřeb v osadě po 8. století př. N. L. Extrémně vzácný. To samé platilo o Římě. Nejstarší římský zákoník, zákon dvanácti tabulek, datovaný do roku 450 př. N. L., Obsahuje ustanovení „Mrtví nebudou pohřbeni ani upáleni uvnitř města“.

Není to jisté, ale původ víry v znečištění může být spojen s jakýmsi primitivním smyslem pro hygienu. Mrtví příbuzní a kdokoli jiný, kdo přišel do kontaktu s mrtvolou, byli vyloučeni z účasti na jakýchkoli aktivitách mimo domov, dokud mrtvola neprošla očistou.

K opětovné integraci do komunity pro truchlící došlo až několik týdnů po pohřbu. Jeden z příbuzných také musel přijmout opatření, aby zabránil pronikání znečišťujícího těla jedné mrtvoly do komunity. To zahrnovalo poskytnutí misky vody přivezené z venku domu, aby se návštěvníci mohli při odchodu očistit.

Časté otázky o životě ve starověké řecké smrti

Tyto tři fáze jsou vytyčení nebo protéza, pohřební průvod nebo ekphora a pohřeb nebo pohřeb.

Řekové ctili mrtvé tím, že se řídili třemi obřady průchodu, stavěli hrobky v Ceramicusu, Potterově čtvrti a nabízeli hrobové zboží.

Řekové se připravovali na posmrtný život tím, že se řídili třemi obřady průchodu a nabízeli hrobové zboží.

Podle pohřebního zákona ve starověkém Řecku musel být jeden pohřben mimo městské hradby.


Římské víry o životě po smrti

Pohřby mrtvých probíhaly celkem organizovaně. To dělali hlavně profesionálové. K tomu se přidal i profesionál, kterého ženy zajistily smutek, některé formy tance a hudby. Byl rozdíl v tom, jak pohřeb probíhal pro chudé a pro bohaté lidi.

Pro chudé lidi byl pohřeb něco velmi jednoduchého a pro bohaté lidi se pohřeb konal ve velkém a byl to docela fantastický obřad.

Byli lidé, kteří nosili masky a oni byli ti, kteří jeli na voze. Římané buď pohřbili, nebo zpopelnili. V případě kremace byli mrtví spáleni na hranici. Dary a osobní věci osoby byly uloženy s ním v jeho hrobce.

A v případě humanizace byla těla chráněna. Tato ochrana byla provedena buď pomocí pytle, struktury podobné dřevu atd.


Posmrtný život

Různé reference

Víra v posmrtný život, kterou si udržuje každé z abrahámských náboženství, vyvolává metafyzickou otázku, jak má být definována lidská osoba. Nějaká forma dualismu mysli a těla, ať už platonická nebo karteziánská, ve které mysl nebo duše přežívá smrt…

… Poskytuje argument pro život po smrti, ve kterém jsou napraveny nespravedlnosti a nespravedlnosti současného života.

Náboženství indiána

Víra Aztéků ohledně druhého světa a života po smrti vykazovala stejný synkretismus. Starý ráj boha deště Tlaloc, vyobrazený na freskách Teotihuacán, otevřel své zahrady těm, kteří zemřeli utonutím, bleskem nebo následkem ...

... většina skupin věřila v posmrtný život. Obecně se předpokládalo, že duše nedávno zesnulých se budou vznášet kolem komunity a pokusit se přimět blízké přátele a příbuzné, aby se k nim připojili na jejich cestě do věčnosti, tedy propracované pohřební obřady a rozsáhlá tabu spojená se smrtí ...

Starověká evropská náboženství

Věřili v posmrtný život, protože s mrtvými pohřbívali jídlo, zbraně a ozdoby. Druidi, rané keltské kněžství, učili nauku o transmigraci duší a diskutovali o povaze a moci bohů. Irové věřili v jiný svět, někdy si jej představovali jako podzemní ...

… A nápaditý obraz posmrtného života. Živí byli neustále posedlí péčí o mrtvé, vyjádřenou propracovanými, nádherně vybavenými a zdobenými hrobkami a bohatými obětmi. Neboť navzdory víře v podsvětí neboli Hádes existovalo také přesvědčení, že individualita mrtvých nějak ...

... narážka na druh posmrtného života, který se očekával od zesnulého. Elysiovský koncept posmrtného života převládal v archaickém období, ale v následujících staletích člověk stále více klade důraz na temnější říši podsvětí. Fresky ukazují svého vládce Háda (etruská Aita), který má vlčí kůži ...

Není známo jednotné pojetí posmrtného života. Někteří možná věřili, že padlí válečníci půjdou do Valhally, aby žili šťastně s Odinem až do Ragnaröku, ale je nepravděpodobné, že by tato víra byla rozšířená. Ostatní jako by věřili, že žádný posmrtný život neexistuje. Podle „Hávamál“ každý ...

… Hermes věřil, že do říše Hades, ale cesta byla podle populárních účtů zamořena bažinatou řekou Styx. Přes to Charon převážel všechny, kteří obdrželi alespoň symbolický pohřeb, a do úst mrtvol byly vloženy mince, aby se zaplatilo jízdné.

... poslední věci, zejména smrt a posmrtný život) se svými objevy investovali hudbu, geometrii a astronomii s náboženskými hodnotami. Podle jejich doktríny byl původní domov duše ve hvězdách. Odtamtud padl na zem a spojil se s tělem. Proto byl člověk cizinec na ...

... představy většiny Římanů o posmrtném životě, pokud nevěřily slibům tajemných náboženství, byly vágní. Takové myšlenky často představovaly opatrnou naději nebo strach, že duch v určitém smyslu žil, a to bylo někdy spojeno s úzkostí, že duchové mrtvých,…

Starověká náboženství Blízkého a Středního východu

… Za hrob a další svět. Egyptští králové se podle používání Bible běžně nazývají faraoni. Termín faraon, je však odvozen z egyptštiny za ʿaa („Velký majetek“) a datuje se označení královského paláce jako instituce. Tento výraz pro palác byl použit…

Víra v posmrtný život a přechod do něj je evidentní u predynastických pohřbů, které jsou orientovány na západ, na doménu mrtvých a které zahrnují hrobové zboží z keramiky i osobní majetek zesnulého. Nejvýraznějším vývojem pozdější praxe márnice byl ...

… Společná indoevropská představa dále, vyobrazená jako pastvina s pasoucím se dobytkem, „ke kterému se vydává mrtvý král“. To naznačuje, že indoevropští předchůdci pozdějších mluvčích Hittite, Palaic a Luwian, stejně jako ti z menších členů této skupiny, vstoupili společně do Anatolie po ...

Moderní náboženství

… O osobním pokračování života po smrti. Mnoho pokřtěných raných křesťanů bylo přesvědčeno, že vůbec nezemřou, ale přesto zažijí Kristův příchod za svého života a půjdou přímo do Božího království bez smrti. Ostatní byli přesvědčeni, že projdou…

… Schopnost zničit a přivést zpět k životu všechna stvoření, která jsou omezená, a proto podléhají neomezené Boží moci.

… Vznikla víra v posmrtný život, pro který by mrtví byli vzkříšeni a podrobeni božskému soudu. Do té doby se jednotlivec musel spokojit s tím, že jeho potomstvo pokračovalo ve svatém národě. Ale i po vzniku víry ve vzkříšení mrtvých, v podstatě etnický ...

... možná existoval dál, ale už to nemělo být chápáno jako život. Existence mrtvých v podsvětí, podsvětí, nebyla živá, ale stín nebo ozvěna života. Pro většinu biblických spisovatelů byla tato existence bez zkušeností, ať už z Boha nebo z čehokoli…

… Extrémně jemná poloha, která přirovnávala nesmrtelnost k rozštěpení lidského intelektu na aktivní intelekt vesmíru, a omezila ho tak na filozofy nebo na ty, kteří přijali vhodnou filozofickou teologii o víře. V moderní době byl patrný malý nebo žádný konsenzus, ačkoli jazyk ...

… Víra, každý člověk po jeho smrti se stane a kami, nadpřirozená bytost, která má i nadále podíl na životě komunity, národa a rodiny. Dobří muži se stanou dobrými a prospěšnými kamis, ze zlých lidí se stávají zhoubní. Povýšení do stavu božské bytosti není ...

… Osud čeká na jednotlivce v posmrtném životě. Každý akt, řeč a myšlenka jsou považovány za související s existencí po smrti. Pozemský stav je spojen se stavem za ním, ve kterém Moudrý Pán odmění dobrý skutek, řeč a myšlení a potrestá zlé. Tento motiv pro…

Teologické aspekty

Koncept

… Dar nesmrtelnosti v tomto posmrtném životě nejprve hledali faraoni a poté miliony obyčejných lidí. Druhým byl koncept posmrtného soudu, ve kterém by kvalita života zesnulého ovlivnila jeho konečný osud. Egyptská společnost, jak bylo řečeno, se skládala z ...

… Duše s osobním přežitím nebo kontinuitou po smrti, existuje stejně starodávný pohled, který zdůrazňuje kontinuitu života. Tento pohled, kterému nizozemský antropolog Albertus Christiaan Kruyt dal termín duše-věci (v kontrastu s posmrtnou duší), se nachází hlavně mezi pěstiteli rýže…

… Že po smrti následuje věčný život jinde - v šeolu, pekle nebo nebi - a že nakonec dojde k univerzálnímu fyzickému vzkříšení. Jiní (např. Buddhisté, orfové, Pythagorejci a Platón) tvrdili, že lidé se znovuzrodili v časovém toku života na Zemi

Aby truchlící dali mrtvým nový život až za hrob, mohou dovolit svátostně padat na mrtvolu životodárnou krev. V tomto cyklu svátostných myšlenek a praktik jsou dávání, zachování a podpora života spolu se navázáním svazku spojení s posvátným řádem…

... je apelovat na posmrtný život, těžkosti tohoto života, ať už způsobené přírodním zlem nebo morálním zlem, nejsou nic ve srovnání s odměnami, které přijdou, a jsou nezbytným faktorem při přípravě člověka na posmrtný život prostřednictvím morálního výcviku a zrání. Tento řádek…


Divadlo ve starověkém Řecku

Na agoře se hrálo divadlo ve starověkých Athénách. Později se divadelní akce staly tak velkými, že byly přesunuty do otevřeného hlediště pod aténskou Akropolí. Ve většině řeckých měst byly postaveny posluchárny pod širým nebem, některé pojaly až 15 000 diváků.

Divadelní představení se stala součástí náboženského svátku Dionýsa, boha vína. Festival trval pět dní a během jednoho dne se hrály až tři plná dramata. Dramata byla hodnocena jako soutěže a vítězní herci a dramatici obdrželi ceny. Dramata byla sponzorována bohatými občany známými jako choregoi.

Ve starověkém Řecku byly vyvinuty tři typy her, tragédie, komedie a satira. Tragédie se týkala řeckých hrdinů a bohů. Zápletky často ukazovaly konflikty mezi muži a bohy a konce byly často pro hlavní postavy špatné. Komedie byly často politicky založenými příběhy nebo představovaly konflikty mezi muži a ženami. Měly být zábavnou zábavou. Satiry byly často vtipné, řezavé a ironické příběhy, které se vysmívaly lidské neřesti a pošetilosti.

Rané hry byly prováděny pouze s jedním hercem, ale obsazení byly později rozšířeny o tři herce. Herci nosili masky, které divákům signalizovaly identitu a případně náladu postavy v určitém okamžiku nebo scéně ve hře. Jeden herec hrál více rolí, měnil masky, aby ztvárnil různé postavy. Kostýmy herce a rsquos signalizovaly náladu a vlastnosti postavy. Tmavší oblečení bylo spojeno s tragickou postavou a světlé oblečení bylo spojeno se šťastnými nebo vtipnými rolemi.


Historie hazardu ve starověkém Řecku

Moderní formy hazardu lze vysledovat až do mnoha starověkých kultur, od Číny po Egypt a dále.

Pravdou však je, že starověké Řecko hrálo ve vývoji moderních forem hazardu větší roli než většina míst.

Pohled na počátky hazardních her v Řecku

Nečekali byste kasina s výherními automaty s nejvyššími výplatami, ale starověké Řecko mělo své vlastní způsoby sázení.

Hazardní hry založené na házení kostkami a házení mincí byly zmíněny v některých starověkých řeckých knihách a příbězích. Některé zdroje uvádějí, že zde mohla také začít poker, i když jiní si myslí, že se poprvé hrál v Číně nebo Persii.

Starověké řecké ikosahedronové kostky

Nelze popřít, že hazardní hry byly v této kultuře velmi populární, se zvláštními místy, kam mohli hazardní hráči chodit sázet. Můžeme to vidět i na sochách a obrazech, kdy lidé sázejí na rvačky a rasy.

Zajímavé je, že se říká, že Gods Hermes a Pan uzavřeli sázky, zatímco Zeus, Poseidon a Hades se rozhodli, jak rozdělit svět tažením brček. Někteří řečtí filozofové byli však proti hazardu a domnívali se, že pokud to nekontrolujeme, poškodí to civilizaci.

Některé z nejpopulárnějších her

Jednou z her, která je v dávných dobách v Řecku často zmiňována jako populární, je Heads and Tails. Nejprve se to hrálo se skořápkami, než se zavedením coinů usnadnilo hazardování, na které straně by to směřovalo nahoru. Pitch and Toss byla hra, která zahrnovala házení mincí na zeď.

Snad nejjednodušší hrou ze všech byla hra s názvem Par Impar Ludere. Jeden hráč by v jedné ruce držel hromadu drobností a druhá osoba musela hádat, zda je celkový počet předmětů lichý nebo sudý. Řekové by vsadili na výsledek a také se to stalo populární v římské říši. Předpokládá se, že hazardní hry byly také důležitým faktorem na počátku olympijských her

Tvrdí se, že Palamedes vynalezl kostky, když byla Trója v obležení, a že to vedlo k tomu, že jeho kostky byly použity v chrámu štěstí v Korintu. Zdá se však, že je to jen legenda, protože první zmínky o kostkách v Řecku lze vysledovat až do roku 6000 př. N. L.

Teorie, která prochází láskou starověkého Řecka k hazardu, je, že hry ovládali bohové. Dokonce i výsledek hry čistého štěstí, jako je házení kostkami, byl považován za v klíně bohů.

Starověké řecké astragali používané k hraní hazardních her

Moderní hazard v Řecku

Pokud se rychle posuneme v čase do současnosti, můžeme vidět, že hazardní hry v Řecku jsou v pozemních zařízeních legální. Všechna velká města mívají několik kasin, zatímco ostrovy, které jsou mezi turisty oblíbené, nabízejí kasina také návštěvníkům.

Mezi nejznámější kasina v zemi patří aténské kasino Mont Parnes Regency. Pochází ze 60. let minulého století a nachází se v národním lese Parnitha. Luxusní orientační bod v hlavním městě, toto je stylové kasino se spoustou různých způsobů hazardu.

Podle všeho bylo nejstarší kasino v Řecku postaveno v Loutraki na počátku 20. století. Většina moderních kasin je rafinovaná a exkluzivní zařízení, kde mohou hráči pohodlně sázet.

Řecká komise pro hazardní hry kontroluje sázení v zemi, zatímco hráči v Řecku mají snadný a bezpečný přístup k široké škále online kasin a stránek pro sportovní sázení od zahraničních operátorů. To znamená, že v současné době mohou lidé sázet na online sázení na fotbal, tenis a basketbal.

Je to však stále něco v šedé zóně, protože řecké regulační orgány a evropské soudy vypracovaly různé názory na zákonnost online hazardních her v Řecku.

Proto stojí za to sledovat všechny budoucí změny legislativy v tomto rychle se rozvíjejícím odvětví, které by mohly mít vliv na řecké hráče.


Řecký život, jak je znázorněno v Homerově#39s Epic: Odysea

V Homerově eposu Odysea jsou různé aspekty starověkých Řeků odhaleny prostřednictvím akcí, postav, zápletky a formulace. Homer využívá své schopnosti dramatika, básníka a filozofa k informování publika o historii, hrdosti a úspěších starověkých Řeků a také k vyprávění o mnoha hodnotách a mnohostranné kultuře starověké řecké kasty . Řekové měli mnoho hodnot a zvyků, z nichž primárními principy jsou mentální vlastnosti jednotlivce, fyzické vlastnosti jednotlivce, rekreace a zábavy, které si Řekové užívali, způsob, jakým hostitel zachází s hostem, náboženské aspekty, a nakonec pohled Řeků na život odhalený v Odyssey, který ukazuje a definuje jejich kulturu

Jednou z nejvýraznějších mentálních vlastností, kterých si staří Řekové cenili, byla chytrost a důvtip jednotlivce. To lze z The Odyssey rozeznat kvůli mnoha instancím a událostem, ve kterých Odysseus používá svůj mozkový duch a další triky, aby se dostal z rizikové situace. Příkladem toho je, když řekne Polyphemosovi Kyklopovi, že se jmenuje Nikdo, když překoná Circeovo kouzlo pomocí moly, když naplní uši svých mužů voskem a připoutá se ke sloupku, aby se on a jeho muži dostali Sirény bezpečně, a když se přestrojí za žebráka a málokomu odhalí svoji pravou identitu. Odysseus je „zdaleka nejlepší ze smrtelníků pro rady a příběhy“ (Bk. XIII, 297 - 298). Odysseus je také údajně schopen vyrovnat se bohu s důvtipem a lstí (Bk. XIII, 291 - 295). Penelope, Odysseova manželka, také používá svůj vtip a triky, aby se dostala ze situací. Příkladem toho je, když předstírá, že tká pro Laertese rubáš, ale ve skutečnosti se v noci rozepne stejně, jako to udělala ráno. Athéna, bohyně moudrosti, je dalším příkladem použití důvtipu a triků. Athéna maskuje Odyssea jako žebráka a také ho mnohokrát obklopuje mlhou, aby ho jeho bývalí známí neviděli ani nepoznali.

Dalšími významnými mentálními vlastnostmi, kterých si Řekové cenili, jsou věrnost a loajalita. V Odyssey existuje mnoho příkladů loajality a věrnosti. Čtyři nejvýznamnější příklady jsou Penelope, Eumaios, Philoitois a Argos. Penelope je věrná manželka Odyssea, která nikdy nespala s nikým jiným než Odysseem, přestože byla v pokušení. Stále také doufá, že Odysseus je stále naživu a jednoho dne se vrátí domů. Eumaios je věrný pastevec prasat, který pomáhá Odysseovi překonat nápadníky. Philoitois je věrné stádo volů, které také pomáhá Odysseovi překonat nápadníky. Argos je „pes trpělivého… psa“ (Bk. XVII, 292) Odysea. Odysseus testuje tyto jedince (kromě psa), aby rozhodl, zda jim může věřit nebo ne. Testuje také další jednotlivce, například sluhy, aby zjistil, zda jsou mu loajální nebo ne.

Fyzické vlastnosti byly pro Řeky stejně důležité jako mentální vlastnosti. Síla byla jednou z dominantnějších vlastností fyzických vlastností. Síla byla běžným testem a byla použita k měření místa muže v reálném světě. Penelope použila sílu jako test soutěže pro nápadníky. Soutěž měla být schopna napnout Odysseův luk a přesně ho vystřelit, cenu (sňatek Penelope) získal „ten, kdo vezme luk do svých rukou, napne jej s největší lehkostí a pošle šíp čistý skrz všech dvanáct sekery “(Bk. XXI, 75 - 76). Síla byla také součástí Phaiakianovy soutěže. Síla byla potřeba na házení diskem (v čemž vynikal Odysseus), zápas a box. Také Řekové milovali konkurenci, což dokazuje skutečnost, že naléhali na Odysea a Irosa, aby bojovali. A když konečně uviděli krev, zbláznili se, smáli se a jásali, jako by to byla ta nejzajímavější věc na světě.

Řekové si užili mnoho rekreací a zábav, z nichž dominoval tanec, zpěv a vyprávění. Phaiakiani byli známí svými terpsichorejskými schopnostmi, a jak řekl Odysseus, při sledování tance mu děsila úžas a bázeň (Bk. VIII, 382 - 384). Zpěv byl také oblíbenou rekreací. Zpěváci byli všichni dobře známí a milovaní. Jak řekl Odysseus Demodokosovi: „Demodokos, nade vše smrtelníci vedle tebe oceňuji“ (Bk. VIII, 487). Jediný, kdo přežil proti Odysseovi, byl Phemios, zpěvák nápadníků. Přežívá, protože Odysseus mu umožňuje žít díky svému daru hlasu od bohů. Jak Telemachus říká o nápadnících: „To je vše, o čem přemýšlejí, lyra a zpěv“ (Bk. 1, 159). Vyprávění příběhů je další ctností a je ceněno Řeky. Menelaos vypráví o svých dobrodružstvích s Telemachem, Odysseus o svých dobrodružstvích s Phaiaky a Odysseus o svých falešných dobrodružstvích Eumaiovi. Další zábavou, kterou si Řekové velmi užívali, je hodování, nebo v hrubém slova smyslu jídlo a pití. Nápadníci vždy jedí a poskytují dostatek, přestože jedí dobytek Odysseus a pijí Odysseovo víno. Mají mnoho soutěží o pití, aby zjistili, kdo může nejvíce pít, a obvykle se na konci soutěžící obvykle stanou bacchanaly. Podle Telemacha mají nápadníci vždy „touhu po jídle a pití“ (Bk. 1, 150).

Zacházení s hostem bylo v dobách starých Řeků velmi důležité. Definovala vaši společenskou třídu a také vám pomohla ve prospěch Zeuse, který je bohem cestovatelů a hostů. Pohostinství lze klasifikovat širokou škálu věcí, ale obecná myšlenka je vždy stejná a nemůže se změnit. Pohostinnost dávala cizím lidem jídlo, teplo, přístřeší a pohodlí, než jim položila otázky, jako je jméno, dědictví nebo dopravní prostředek. Pohostinství také znamenalo ucho pro každé slovo a respekt pro každé slovo. Hostitel je také zodpovědný za to, že je záštitou hosta, zatímco host bydlí ve svém domě. Telemachus má pocit, že to nemůže zajistit svému otci (v podobě žebráka), a proto se stydí. "Jak mohu přijmout a pobavit cizího hosta ve svém domě?" Sám jsem mladý a nemám důvěru v sílu svých rukou bránit muže, pokud se s ním někdo jiný hádá (Bk. XVI, 69 - 72). Příklady dobré pohostinnosti jsou v celé Odyssei hojné, například když Athene jde k Telemachovi na Ithace, když Telemachus jde k Nestorovi, když Telemachus jde k Menelaosu, když Odysseus jde k Phaiakianům a když Odysseus jde k Eumaiovi. Dárky při příjezdu se očekávají, ale dárky při odjezdu nejsou vždy přítomny. V případě bohatého, velkorysého nebo přátelského hostitele je však možné vyměnit dárky, dokonce i ty s nevyčíslitelnými a nesmírnými hodnotami.

Náboženská víra a aspekty starověké řecké kultury jsou velmi definované a přísné. Řekové věřili, že svět dohlížel Zeus a další olympští bohové a že tito bohové rozhodli o jejich budoucnosti. Také věřili, že vůle bohů lze obětovat. To je důvod, proč Odysseus, Telemachus a mnoho dalších postav přineslo bohům tolik obětí. Tyto postavy se také modlí k bohům, aby je bohové slyšeli a splnili jejich přání. Řekové také věřili v „život“ po smrti v podsvětí s Hádem. Dalším náboženským aspektem řecké kultury byla proroctví. Proroctví a proroci byli hojní, ale nabídka přesných proroctví a proroků byla mnohem méně hojná a požadavky na ně byly vysoké, takže byly vzácné. Dva hlavní proroci v Odyssey byli Teiresias a Theoklymenos. Teiresias byl mrtvý prorok, kterého Odysseus šel konzultovat do podsvětí. Přesně prorokoval většinu aspektů Odysseovy cesty a díky němu Odysseus dokázal přežít své putování. Theoklymenos byl prorok z rodiny proroků. Dokázal docela přesně prorokovat z ptačí předpovědi, jak ukázal, když prorokuje, že Telemachus „bude mít panskou moc navždy“ (Bk. XV, 534). Homer v Odyssei používá docela dost ptačího vylepšení, jedno na začátku, aby varovalo nápadníky před Odysseovým návratem domů (Bk. II, 146 - 154), a dvě na konci, obě symbolizovaly Odysseův triumf nad nápadníky.

Staří Řekové měli optimistický pohled na život, pohled, který dělá hezké, šťastné konce, ale bohužel nejsou příliš realistické. Řekové věřili, že na konci jakéhokoli utrpení nebo vytrvalosti vyjde spravedlnost a ukáže oběti vítězný úsměv. Věřili, že vytrvalost a odhodlání nakonec projdou. Řekové také věřili, že v bitvě mezi dobrem a zlem nakonec dobro zvítězí. Názor, že dobro vítězí nad zlem, lze vidět v eposu, když Odysseus (dobrý) zabije všechny nápadníky (zlé) proti prakticky nemožné přesile. Názor, že spravedlnost nakonec vyvstane, ukazuje Odysea, když jsou zabiti všichni nevěrní služebníci a služky.Názor na vytrvalost a odhodlání uspět dokazuje skutečnost, že Odysseus „který se po velkém utrpení vrátil alespoň ve dvacátém roce zpět do své vlastní země“ (Bk. XXIII, 101 - 102) přežil všechny své vraky, útoky a další překážky a nakonec se mu podaří vrátit se domů.

V celé Odyssei jsou řecké hodnoty a řecká kultura neustále formovány proudem autorova pera, které vypráví příběh se složitou zápletkou. Epos umožňuje moderní veřejnosti vědět o dobách, kdy muži bojovali rukama a hlavami, kdy bohové ovládali kultury a kdy láska a věrnost něco znamenala. Odysea je velkým dílem velkého básníka Homera, který nejenže zachycuje podstatu starověkého řeckého ducha a kultury, ale také vypráví příběh, který lze předávat z generace na generaci, aniž by se bál stárnout.


Kuželosečky ve starověkém Řecku

Znalost kónických řezů lze vysledovat až do starověkého Řecka. Menaechmusovi se připisuje objev kuželoseček kolem let 360-350 př. N. L. uvádí se, že je použil ve svých dvou řešeních problému „zdvojnásobení krychle“. Po Menaechmusově práci tyto křivky zkoumal Aristaeus a Euclid. Další hlavní příspěvek k růstu teorie kuželoseček přinesl velký Archimedes. Ačkoli získal mnoho teorémů týkajících se kuželoseček, nezdá se, že by publikoval nějaké dílo věnované pouze jim. Apollonius je na druhé straně známý jako „Velký geometr“ na základě svého textu Kónické sekce, série osmi „knih“ (nebo moderně „kapitola“) na toto téma. První čtyři knihy se k nám dostaly v původní starověké řečtině, ale knihy V-VII jsou známy pouze z arabského překladu, zatímco osmá kniha byla zcela ztracena.

V letech následujících po Apollónovi začala řecká geometrická tradice upadat, přestože došlo k vývoji v astronomii, trigonometrii a algebře (Eves, 1990, s. 182). Pappus, který žil kolem roku 300 n. L., Poněkud méně podporoval studium kuželoseček. Po Pappusovi však byly kuželosečky na 12 století téměř zapomenuty. Teprve v šestnáctém století, částečně jako důsledek vynálezu tisku a následného šíření Apolloniovy práce, došlo k jakémukoli významnému pokroku v teorii nebo aplikacích kónických řezů, ale když k němu došlo, v práci Kepler, bylo to jako součást jednoho z hlavních pokroků v historii vědy.

Tento článek bude zkoumat historii kuželoseček ve starověkém Řecku. Budeme zkoumat práci výše zmíněných matematiků relevantních pro kuželosečky, přičemž zvláštní pozornost bude věnována Apolloniovu textu o kónických řezech.

Pappus a Proclus

Může se zdát zvláštní začít s těmito pozdními čísly, ale význam Pappus a Proclus je třeba stanovit brzy. Zatímco Pappus z Alexandrie byl kompetentní matematik a geometr, zajímá nás zde jeho práce jako matematický komentátor a historik matematiky. Pappus, který sídlil hlavně v Alexandrii, zhruba 500 let poté, co intelektuální scénu zdobili lidé jako Euclid, Archimedes a Apollonius, napsal několik komentářů k dílům mnoha velkých matematiků minulosti (tj. Své minulosti!). Jedním z jeho nejdůležitějších příspěvků byla jeho Matematická sbírka, série osmi knih, která obsahovala komentáře a historické poznámky, stejně jako několik původních návrhů a rozšíření stávajících děl. V knize VII pojednává o dvanácti pojednáních o minulosti, které zahrnovaly Apolloniovy kónické řezy, Euclidovy povrchové loci a Aristaiovy pevné loci (Eves, 1990, s. 183-4). Pappus nám dává skvělý pohled na životy a díla řeckých geometrů. Měl přístup k dílům, která jsou nyní ztracena, a kromě toho, že je sám kvalifikovaným matematikem, poskytuje cenné spojení se starověkou řeckou geometrií.

Proclus, který žil v pátém století našeho letopočtu, byl také pozoruhodným matematickým historikem. Stejně jako Pappus měl přístup k původní dokumentaci z matematiky klasické a helénistické éry, která již není k dispozici. Jeho Eudemian Summary je neocenitelným zdrojem informací o raných řeckých matematických pracích až po Euclida (Eves, 1990, s. 74–75). Jeho autorita bude v tomto příspěvku vznesena, zejména při zkoumání vlivu Aristaea a Euclida.

Menaechmus

Podle tradice myšlenka kuželoseček vzešla z průzkumu problému „zdvojnásobení krychle“. Tento problém a doprovodný příběh je představen v dopise Eratosthenese z Kyrény králi Ptolemaiovi Euergetesovi, který k nám přišel, jak ho citoval Eutocius ve svém komentáři k Archimédově knize O kouli a válci, která se objevuje ve vřesovišti. Eratosthenes králi řekl, že legendární král Minos si přál postavit hrobku pro Glauka a cítil, že jeho současné rozměry - sto stop na každé straně - jsou neadekvátní.

    Příliš malý tvůj plán na svázání královské hrobky. Ať je to ještě dvojnásobek jeho spravedlivé podoby Nezklamte, ale spěchejte zdvojnásobit každou stranu.

Je jasné, že zdvojnásobení každé strany zvýší hlasitost faktorem osm, nikoli požadovaným faktorem dvou. Matematici na tomto problému usilovně pracovali, ale při jeho řešení měli obrovské potíže. K průlomu svého druhu došlo, když Hippokrates z Chiosu redukoval problém na ekvivalentní problém „dvou průměrných proporcionálů“, ačkoli se ukázalo, že tato formulace není o nic jednodušší než ta předchozí (Heath, 1961, s. Xviii). Eratosthenes pokračoval zmínkou o Delianech, kteří měli zájem o úplně stejný problém „zdvojnásobení krychle“. Když vyzvali geometry na Platónově akademii v Aténách k řešení, dva geometři našli odpovědi na problém ekvivalentních průměrných proporcí. Archytas z Tarentu použil „půlválce“ a Eudoxus „zakřivené čáry“. Tato řešení však poskytovala pouze ukázky existence požadovaného čísla jako geometrické veličiny, ale ve skutečnosti nemohla mechanicky konstruovat střední podíl, takže bodu praktického uplatnění dosáhly až Menaechmus, kterého jej dosáhl se značným obtížnost (Heath, 1961, s. xvii-xviii).

Zajímavá je výše uvedená zmínka o Hippokratových průměrných proporcích. To znamená, že vzhledem ke dvěma délkám a a b najdeme x a y takové, že a: x :: x: y a x: y :: y :: b, nebo v moderní notaci a/x = x/y = y/b, označíme -li tento poměr r, pak r^3 = (a/x) (x/y) (y/b) = a/b, a jak poznamenal Hippocrates, že pokud je segment a dvakrát větší pokud je segment b, pak by zdvojnásobení krychle bylo řešeno pomocí délky r. Není třeba říkat, že neměl algebraický zápis schopný podpořit argument ve formě, kterou jsme mu dali, a musel se přímo hádat.

Menaechmus byl žákem Eudoxuse, současníka Platóna (Heath, 1921, s. 251). Hodně z toho, co víme o Menaechmusově díle, k nám pochází z komentářů Eutociuse, řeckého učence, který diskutoval o dílech mnoha matematiků své i dřívější doby, včetně Menaechmuse, Archimeda a Apollonia. Ve svých řešeních Menaechmus v podstatě nachází průsečík bodů (ii) a (iii) (viz Řešení 1 níže) a poté alternativně průnik (i) a (ii) (viz Řešení 2 níže). Menaechmusův důkaz se zabývá obecným případem průměrných proporcí. Jakmile to máme, můžeme vzít speciální případ a = 2b na zdvojnásobení krychle. Před podáním těchto dvou řešení je třeba poznamenat, že Menaechmus nepoužíval výrazy „parabola“ a „hyperbola“ - tyto výrazy jsou dány Apolloniem. Místo toho nazýval parabolou „sekcí pravoúhlého kužele“ a hyperbolou „sekcí kužele tupého úhlu“ (Heath, 1921, s. 111).

    Řešení 1:
  • Nechť AO, AB jsou dvě přímky tak, že AO> AB a nechme je, aby svíraly pravý úhel v O.
  • Předpokládejme, že je problém vyřešen a necháme dvě průměrné proporcionály být OM měřeny podél produkovaného BO a ON měřeny podél produkovaného AO. (Heath, 1921, s. 253).
  • Vyplňte obdélník OMPN.
  • Protože AO: OM = OM: ON = ON: OB, máme křížovým násobením následující vztahy:
  • (1) OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2 ["." označuje násobení], takže P leží na parabole, která má O pro svůj vrchol, OM pro svou osu a OB pro svůj latus konečník.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, takže P leží na hyperbole s O jako středem a OM a ON jako asymptotami.
  • Abychom našli bod P, musíme sestrojit parabolu v (1) a hyperbolu v (2), a jakmile to uděláme, průsečík těchto dvou vyřeší problém, pro AO: PN = PN: PM = PM: OB .
    Řešení 2:
  • Předpokládejme, že jsou uvedeny AO a AB a problém je třeba vyřešit jako v prvních dvou krocích k řešení 1.
  • Opět máme AO: OM = OM: ON = ON: OB, což nám dává
  • (1) jako v řešení 1, vztah OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2, takže P leží na parabole, která má O pro svůj vrchol, OM pro svoji osu a OB pro latus konečník.
  • (2) vztah AO.ON = OM & sup2 = PN & sup2, takže P leží na parabole, která má O pro svůj vrchol, ON pro svou osu a OA pro svůj latus konečník.
  • Abychom našli bod P, musíme sestrojit dva paraboly popsané v (1) a (2). Křižovatka nám dává bod P takový, že AO PN = PN: PM = PM: OB

I když je zřejmé, že Menaechmus využil toho, co se později stalo známým jako kuželosečky, měl při řešení problému zdvojení krychle opravdu na mysli konstrukci zahrnující kužel? Heath tvrdí, že ano, a to z následujícího důvodu. Ve stejném dopise od Eratosthenese Ptolemaiovi zmíněném výše Eratosthenes v souvislosti s diskusí o svém vlastním řešení problému uvedl, že není třeba se uchýlit k „řezání kužele v Menaechmusových triádách“ (Heath, 1961, xviii). Kromě tohoto citátu, který se objevuje v Eutociově komentáři k Archimédovi, Proclus potvrzuje, že kuželosečky objevil Menaechemus (Heath, 1961, xix).

Nyní, když jsme viděli, jak Menaechmus poprvé aplikoval kuželosečky, by se někdo mohl divit: „Jak ho napadlo získat tyto křivky z kužele?“. Ačkoli o této otázce neexistují prakticky žádné informace, intuice nám říká, že by takové tvary přitahovaly bystré pozorovací schopnosti řeckých matematiků. Je pravděpodobné, že první kuželosečka zaznamenaná v přírodě by byla elipsa. Pokud někdo prořízne válec pod jiným úhlem než pravým úhlem k jeho ose, výsledkem je elipsa. Ve skutečnosti Euclid ve svých Phaenomenach poznamenává, že kužel nebo válec řezaný rovinou, která není rovnoběžná se základnou, má za následek část kužele s ostrým úhlem, který je „podobný [štítu“ “(Heath, 1921, 125). Přirozeným rozšířením tohoto jevu by bylo řezání kužele podobným způsobem. Pak snad posunuli řezací rovinu, aby kužel úplně nerozřízla. Jaké typy křivek vyplývají? Jak jsou všechny jejich vlastnosti podobné ostatním sekcím? Jak jsou odlišní? Toto je možná a pravděpodobně zjednodušená diskuse o proudění myšlenek, která vedla ke studiu kuželoseček.

Neugebauer naznačuje, že původ konceptu je v teorii slunečních hodin, protože svazek světelných paprsků zapojených do návrhu slunečních hodin je kužel, který je v hyperbole proříznut rovinou horizontu a část této hyperboly je poté vyznačeny na slunečních hodinách.

Podle Geminuse staří stočili pravý trojúhelník kolem jedné z jeho nohou, aby určili kužel. Kromě toho byly známy pouze pravé kužely. Z těchto pravoúhlých kuželů existují tři typy. Zjevně může být svislý úhel v horní části kužele menší než devadesát stupňů, více než devadesát stupňů nebo přesně devadesát stupňů (Heath, 1921, s. 111). Později uvidíme, když budeme studovat Apollonius, že existuje zásadní rozdíl v typech kuželů, které zvažuje. Segment spojující „horní bod“ kužele se středem kruhové základny má vždy pravý úhel. Apollonius se domnívá, že obecnější forma kužele nepředjímá pravý úhel (Heath, 1961, s. 1). Vrácením specializovaných kuželů z účtu Gemina se tyto kužely nazývaly kužely s ostrými úhly, tupými úhly a pravoúhlé (nezaměňovat s pravými kužely, které odkazují na revoluci pravoúhlého trojúhelníku). Kromě výše uvedených dvou názvů hyperboly a paraboly byla elipsa známá také jako „část kužele s ostrým úhlem“ (Heath, 1921, s. 111).

Není známo nic o metodách, které Menaechmus používá k řešení těchto křivek (Cajori, 1924, s. 27). Heath diskutuje o tom, co nazývá svou „pravděpodobnou“ metodou, a to na základě předpokladu, že Menaechmusovy konstrukce jeho křivek by byly pravděpodobně poměrně jednoduché a přímé, ale dostatečně poučné, aby prokázaly charakteristické vlastnosti. Toto již nebude dále diskutováno. Naštěstí máme rozsáhlou dokumentaci pojednání pozdějších geometerů, zejména Appoloniuse, na téma kuželoseček.

Aristaeus a Euclid

Dále se dostáváme k (opět ztraceným) dílům Aristaea `` staršího`` a oslavovaného Euclida na kuželovitých úsecích. Protože nemáme původní díla těchto dvou mužů na kuželovitých částech, naše znalosti o nich jsou odvozeny z komentářů Pappuse, jehož spisy jsou diskutovány v Heathu, pomocí překladu Hultsche:

Čtyři knihy Euclidových kuželek dokončil Apollonius, který přidal další čtyři a vyrobil osm knih kuželoseček. Aristaeus, který napsal dosud existujících pět knih pevných lokusů spojených s kužely, nazval jednu z kuželovitých sekcí sekcí kužele s ostrým úhlem, jinou sekcí pravoúhlého kužele a třetí sekcí tupého- šikmý kužel. Apollonius ve své třetí knize říká, že `` místo s ohledem na tři nebo čtyři řádky`` nebylo Euclidem zcela prozkoumáno a ve skutečnosti ani sám Apollonius, ani nikdo jiný nemohl přinejmenším přidat k tomu, co napsal Euclid s pomoc pouze těch vlastností kuželoseček, které byly prokázány až do Euclidovy doby, dokazuje sám Apollonius, když říká, že teorii tohoto místa nelze dokončit bez propozic, které byl povinen sám vypracovat. Nyní Euclid-považuje Aristaea za zásluhy o objevy, které již učinil v kuželovitosti, a aniž by ho předjímal nebo si přál znovu postavit stejný systém, navíc v žádném moudře svárlivém a přesto přesném, přesto bez chvástání jako ten druhý. tolik o lokusu, jak bylo možné pomocí kuželek Aristaea, aniž by si nárokoval úplnost jeho demonstrací. (Heath, 1961, s. Xxi-xxii)

Než budeme diskutovat o důsledcích Pappusových slov, obrátíme se na Proclus, aby nám poskytl určitý pohled na koncept „pevného lokusu“. Lokus definuje jako „polohu čáry nebo povrchu zahrnujícího jednu a tu samou vlastnost“ (Heath, 1961, s. Xxxii). Lokusy jsou rozděleny do dvou tříd, „line-loci“ a „povrch-lokusy“. V čáře jsou lokusy „planloci“ a „solid-loci“. Roviny-lokusy jsou generovány v rovině, jako přímka. Lokusy těles jsou generovány z části plné postavy, tj. Z válcovité šroubovice a kuželovitých částí. Pappus dělá rozdělení toho, co Proclus nazývá solid-lokus. Tuto kategorii rozděluje na „lineární loci“ a „solid-loci“, nezaměňovat s tím, co Proclus nazývá solidní lokusy. Solid lokusy, až Pappus, jsou úseky kuželů (paraboly, elipsy a hyperboly) a lineární lokusy jsou složitější čáry než přímky, kruhy a kuželosečky (Heath, 1961, s. Xxxiii).

S touto informací, spolu s Pappusovou pasáží, Heath vyvodil několik závěrů týkajících se prací Euclida a Aristaea ohledně kuželoseček. Za prvé, Aristaiova léčba pevných lokusů se soustředila na paraboly, elipsy a hyperboly, tj. Za lokusy považoval kužely. Za druhé, Aristaeovo pojednání o pevných lokusech bylo na prvním místě a obsahovalo více originálních myšlenek a vět než Euclidovo. Pappus říká, že Euclid psal o základní teorii kónických řezů a zaměřil se na jeho návrhy, aby připravil čtenáře na analýzu pevných lokusů Aristaea (Heath, 1961, s. Xxxii). Ve stejné linii Heath poznamenává, že „Euclidovy kužely byly kompilací a přeskupením geometrie kuželek, jak byla v jeho době známa, zatímco práce Aristaea byla specializovanější a originálnější“ (Heath, 1921, s. 116 -7). Za třetí, Aristaeus používal výrazy „část pravoúhlého, ostrohranného a tupoúhlého kužele“, přijatá jména pro tyto křivky až do Apollonius. Nakonec byl kuželovitý euklidovský kužel nahrazen kuželosečkami od Apollónia.

Kromě výše uvedených myšlenek je klíčem z práce Aristaea a Euclida to, že byly zdrojem, na kterém matematici založili svou práci, nebo alespoň konzultovali. Uvidíme to v akci, když budeme pokračovat v diskusi s Archimédem a Apolloniem.

Archimedes

„Žádný průzkum historie kuželovitých řezů by nemohl být úplný bez přijatelně vyčerpávajícího popisu všeho, co se k tomuto tématu vztahuje, které lze nalézt v dochovaných pracích Archimedes“ (Heath, 1961, s. Xli). Neexistuje žádný podložený důkaz, že by někdy napsal celou práci věnovanou kuželosečkám, ale jeho znalosti tohoto tématu jsou zřejmé v pracích, které máme. Mezi pojednáním, které Archimedes publikoval, byla Quadrature of the Parabola, Conoids and Spheroids, Floating Bodies, and Plane Equilibrium. Tato díla sdílejí společné vlákno-vyžadují rozsáhlé využití vlastností paraboly, Archimédovy specializace mezi kónickými sekcemi (Heath, 1921, s. 124).

Heath říká, že Euclid's Conics je pravděpodobným zdrojem, ze kterého Archimedes přijímá základní principy kuželoseček, které předpokládá bez důkazu (Heath, 1921, s. 122). Pro kuželosečky (tj. Řez kuželem s ostrým úhlem = elipsa) používá „stará“, předapolloniová jména (Heath, 1961, s. Xlii). Než se do toho pustíte, je důležité si ujasnit jeho slovní zásobu. Průměry jsou to, co považujeme za osy elipsy (hlavní i vedlejší). Tyto dva průměry jsou konjugované. Osa paraboly se také nazývá průměr a ostatní průměry se nazývají „čáry rovnoběžné s průměrem“. Průměr hyperboly je část toho, co považujeme za osu v rámci jedné rozvětvené hyperboly (Archimedes považuje druhou větev za součást stejné křivky). Střed hyperboly byl nazýván bodem, ve kterém se setkávají „nejbližší linie k úseku kužele tupého úhlu“ (asymptoty) (Heath, 1921, s. 122).

Heath cituje několik předpokladů, které Archimedes učinil na základě předchozích děl podobných Euclidovi a Aristaeovi. S odkazem na centrální kužely:

    Přímka vedená ze středu elipsy nebo bodu průsečíku asymptot hyperboly bodem dotyku libovolné tečny půlí všechny akordy rovnoběžně s tečnou V elipse jsou tečny na koncích obou dva průměry konjugátu jsou oba rovnoběžné s druhým průměrem. Pokud je kužel, pravý nebo šikmý, řezán rovinou splňující všechny generátory, je řez buď kružnicí nebo elipsou. Pokud se čára mezi asymptotami setká s hyperbolou a půlí se v místě souběhu, dotkne se hyperboly. Jestliže x, y jsou nakresleny přímé čáry v pevných směrech z bodu na hyperbole ke splnění asymptot, obdélník xy je konstantní. Zvláště s odkazem na paraboly jsou paralelní akordy půleny o jednu přímku rovnoběžnou s osou, která prochází bodem dotyku tečny rovnoběžně s akordy. Pokud tečna v Q splňuje průměr PV v T a QV je pořadnice k průměru, PV = PT [definice souřadnice viz Apollonius]. Všechny paraboly jsou podobné (Heath, 1921, s. 123-24)

Povaha Archimédových spisů se zdá být taková, že dokazuje jen to, co není pro zkušeného matematika rozumně zřejmé. To, co bylo Archimédovi zřejmé, se však nemusí vždy shodovat s tím, co je zřejmé většině lidí! Podle stejného argumentu bývají tvrzení, která Archimedes prokazuje, velmi obtížná. Zdálo se, že Archimedes se méně zabýval vývojem úplné, systematické úpravy kuželoseček (která byla v každém případě přístupná v nyní ztracených dílech jiných), ale spíše používáním toho, co již bylo zavedeno a/nebo se snadno ukázalo, rozvíjet hluboké a náročné věty . Z tohoto důvodu tento článek, i když poskytuje základní pozadí předpokladů a základních trendů Archimédovy studie, nebude zkoumat původní důkazy, které poskytl.

Apollonius

Spolu s Euclidem a Archimédem je Apollonius třetím členem trojice velkých geometrických myslí starověkého Řecka. „Bez nadsázky lze říci, že téměř každá významná následná geometrická geometrie, až do současnosti včetně, má svůj původ v díle těchto tří velkých učenců“ (Eves, 1963, 25). O životě Apollónia je známo jen malé množství informací. Narodil se ve městě Perga v Pamfýlii, které se nacházelo v jižní Malé Asii, nyní Turecku. Eves i Heath se na datu jeho narození znovu dohodli na přibližně 262 př. N. L., Tedy přibližně 25 let po narození Archimeda. Jako mladý cestoval do Alexandrie, aby studoval s nástupci Euclida. Rozkvetl za vlády Ptolemaia Euergetese („Dobrodinec“, 247–222 př. N. L.). Za vlády Ptolemaia Philopatora (222–205 př. N. L.) Byl nadále uznávaným učencem. (Heath, 1921, 126). Je také známo, že navštívil Pergamum, kde se setkal s Eudemem, jemuž věnoval první dvě knihy svých kónických řezů (Heath, 1921, 126). Třetí až sedmá kniha (a možná i osmá, která se ztratila) byla věnována králi Attalu I. (241–197 př. N. L.), Což je skutečnost, která historikům pomohla odhadnout roky jeho života.

Čtyři z osmi Apollónových knih k nám přišly v řečtině. Osmá kniha je zcela ztracena - o jejím obsahu ani nevíme. Knihy V-VII se k nám dostaly v arabském překladu, jehož datum je diskutabilní. Eves a Heath to považují za překlad devátého století (Eves, 1990, s. 171). Cajori naproti tomu píše o překladu z roku 1250, aniž by se zmínil o devátém století (Cajori, 1924, 38). Dva bratři z rodiny Muh, Ahmad a al-Hasan, poprvé uvažovali o překladu kuželoseček do arabštiny v devátém století. Kvůli špatnému stavu jejich rukopisů téměř ztratili zájem. Ahmad obdržel kopii Eutociovy edice Knihy I-IV a nechal je přeložit Abi Hilal al-Himsi (zemřel 883/4). Poté dal jiný rukopis knih V-VII přeložit Thabit ibn Qurra (žil 826-901). Heath potvrzuje Cajoriho zmínku o překladu z roku 1250 a uvádí, že v roce 1248 vytvořil další překlad Nasir ad-Din (Heath, 1921, s. 127).

Apollonius otevírá každou ze svých přeživších knih předmluvou. Předmluva ke knize I, která slouží jako obecná předmluva pro celou sérii, a ke knize V byla zahrnuta v dodatku A. Z obecné předmluvy se dozvídáme, že první čtyři knihy kónických řezů dokončily a formalizovaly předchozí dílo známé V té době Apollonius. Podle Heatha Apollonius nikdy netvrdí, že materiál obsažený v prvních čtyřech knihách je původní, s výjimkou určitých vět v knize III a vyšetřování v knize IV. Tvrdí však, že jeho pojednání je úplnější a přísnější než předchozí práce na toto téma, což souhlasí s komentářem Pappuse (Heath, 1961, s. Lxxvii). Na rozdíl od většiny z prvních čtyř knih se knihy pět až sedm týkaly nových konceptů, které přesahovaly „to podstatné“. Heath uvádí: Skutečný rozdíl mezi prvními čtyřmi knihami a pátou spočívá spíše v tom, že první obsahují propojenou a vědeckou expozici obecné teorie kuželoseček jako nepostradatelný základ pro další rozšíření předmětu v určitých zvláštních směrech, zatímco pátá kniha je příkladem takové specializace, totéž platí pro šestou a sedmou knihu (Heath, 1961, s. lxxvi).

Než budeme zkoumat jednotlivé výroky z kuželoseček, může být vhodné zmínit původ názvů kuželoseček, jak je známe dnes. Podle Evese byly pojmy „elipsa“, „parabola“ a „hyperbola“ převzaty z rané Pythagorovy lidové řeči odkazující na „aplikaci oblastí“ (forma „geometrické algebry“ zaznamenaná v Euclidových prvcích, kniha II. Při aplikaci obdélník k segmentu čáry [zarovnáním jedné hrany obdélníku k segmentu s jedním rohem obdélníku, který odpovídá jednomu koncovému bodu], „jiný“ roh obdélníku buď nedosáhl, přesně se setkal, nebo přesáhl konec Těmto třem případům se říkalo „elipsa“, „parabola“ nebo „hyperbole“. Eves ukazuje, jak tyto termíny použil Apollonius v podobném duchu jako kuželovité řezy následujícím způsobem:

    Nechť AB je hlavní osou kuželu. Nechť P je jakýkoli bod na kuželu. Nechť Q je úpatí kolmice na AB. Označte vzdálenost AR kolmou na AB vzdáleností, která je nyní známá jako latus rectum nebo parametr křivky. Aplikujte na segment AR, obdélník mající pro jednu stranu AQ a plochu rovnou (PQ) & sup2. Pokud obdélník přesahuje segment AR, pak je kuželovina hyperbola. Pokud se obdélník shoduje se segmentem AR, pak je kónus parabola. Pokud obdélník nedosahuje segmentu AR, pak je kuželovina elipsa. (Eves, 1963, s. 30-1)

Zdá se, že tento argument sám o sobě není důkazem ani definicí. Jak je psáno, v Apolloniových kuželových sekcích se to rozhodně neobjevuje, ačkoli později, když se budou diskutovat jeho návrhy, bude jejich podobnost evidentní. Zdá se, že Evesovy výroky vypadají, když člověk postupuje podle kroků. První tři prohlášení jsou jasná a společná pro všechny tři případy. Není -li to výslovně uvedeno, nechť F je ohniskem dané kuželosečky a K koncovým bodem latus rectum. Zde jsou příklady (ne řecké) každého ze tří případů:

Než se pustíme do Apolloniusovy metody prokazování těchto vztahů, bylo by vhodné začít stejně jako on definováním příslušných pojmů.

Je -li přímka neurčitá na délku a procházející vždy pevným bodem, musí se pohybovat po obvodu kruhu, který není ve stejné rovině s bodem, aby postupně procházel každým bodem tohoto obvodu, pohybující se přímka vystopuje povrch dvojitého kužele nebo dvou podobných kuželů ležících v opačných směrech a setkávajících se v pevném bodě, který je vrcholem každého kužele.

Kruh, kolem kterého se přímka pohybuje, se nazývá základna kužele ležícího mezi uvedeným kruhem a pevným bodem a osa je definována jako přímka vedená od pevného bodu nebo vrcholu ke středu kruhu tvořícího základna.

Takto popsaný kužel je scalenový nebo šikmý kužel s výjimkou konkrétního případu, kdy je osa kolmá na základnu. V tomto druhém případě je kužel pravým kuželem.

Pokud je kužel řezán rovinou procházející vrcholem, je výsledným úsekem trojúhelník, přičemž dvě strany jsou přímky ležící na povrchu kužele a třetí strana je přímka, která je průsečíkem roviny řezu a rovina základny.

Nechť je kužel, jehož vrchol je A a jehož základna je kruh BC, a nechť O je střed kruhu, takže AO je osa kužele. Předpokládejme nyní, že kužel je řezán jakoukoli rovinou rovnoběžnou s rovinou základny BC a DE, a nechme osu AO setkat se s rovinou DE v o. Nechť p je libovolný bod na průsečíku roviny DE a povrchu kužele. Připojte se k Ap a vytvořte jej tak, aby odpovídal obvodu kruhu BC v P. Připojte se k OP, op.

Potom, protože rovina procházející přímkami AO, AP řeže dvě rovnoběžné roviny BC, DE v přímkách OP, op respektive OP, op jsou rovnoběžné.

A protože BPC je kruh, OP zůstává konstantní pro všechny polohy p na křivce DpE a poměr Ao: Ao je také konstantní.

Proto je op konstantní pro všechny body v řezu povrchu rovinou DE. Jinými slovy, tato část je kruh.

Všechny části kužele, které jsou rovnoběžné s kruhovou základnou, jsou tedy kruhy (Heath, 1961, s. 1-2).

Kónické sekce nadále definují průměr jako přímku půlící každý ze série paralelních akordů části kužele. V každém z níže uvedených příkladů je PP 'průměr:

Na výše uvedených obrázcích je-li QQ 'půleno průměrem PP' při V, pak se PV nazývá pořadnice nebo přímka nakreslená pořadím. Délka PV odříznutá od průměru libovolnou souřadnicí QV se nazývá osa QV (Heath, 1961, s. 7-8).

Nyní se obracíme k Apolloniově definici kuželoseček, jak se je pokoušíme spojit s definicí, kterou Eves uvedl výše. Případ paraboly bude uveden jako příklad vývoje Apollónia:

Nejprve nechejte průměr části průřezu rovnoběžně s jednou ze stran osového trojúhelníku jako AC a QV nechejte libovolnou osu průměru PM. Pokud je tedy přímka PL (předpokládá se, že je nakreslena kolmo na PM v rovině řezu) odebrána o takové délce, že PL: PA = BC & sup2: BA.AC, je třeba dokázat, že QV & sup2 = PL.PV

Nechte HK protáhnout V rovnoběžně s BC. Potom, protože QV je také rovnoběžný s DE, z toho vyplývá, že rovina procházející H, Q, K je rovnoběžná se základnou kužele, a proto vytváří kruhový řez, jehož průměr je HK. Také QV je v pravém úhlu k HK.

Nyní podobnými trojúhelníky a rovnoběžkami,

VN: PV = BC: AC a VK: PA = BC: BA.

QV & sup2: PV.PA = PL: PA = PL.PV: PV.PA

Z toho vyplývá, že čtverec na ay ordinate k pevnému průměru PM se rovná obdélníku aplikovanému na pevnou přímku PL nakreslenou v pravých úhlech k PM s nadmořskou výškou odpovídající odpovídající přímce PV. Proto se tato sekce nazývá Parabola.

Pevná přímka PL se nazývá latus rectum nebo parametr souřadnic.

Tento parametr, odpovídající průměru PM, bude označen symbolem p níže. Tím pádem,

Tento důkaz se liší od výše uvedeného, ​​protože dřívější cvičení předpokládalo, že zaměření je známé. Apollonius volí PL takovým způsobem, že představuje latus rectum neboli ohniskovou šířku křivky. Vzhledem k dřívějšímu vývoji, že každá rovina rovnoběžná se základnou a řezání kužele úplně je kruh. Použitím množin rovnoběžných čar QV a DE, HK a BC a prostřednictvím podobných trojúhelníků HKA a BCA vyplývá spíše přímo, jak uvádí Apollonius. Stejně jako v předchozí demonstraci (Eves) je čtverec na souřadnici (QV & sup2) roven délce latus rectum (PL) krát osa QV (PV).

Apolloniovy definice hyperboly a elipsy sledují podobnou linii. U hyperboly překrývá plocha obdélníku (množina rovnající se čtverci ordináty) fixní latus konečník. U elipsy je oblast obdélníku menší než fixovaný latus konečník. Heath, připomínající dříve, naznačuje, že tyto definice naznačují, že názvy pocházejí z pythagorejských výrazů týkajících se aplikace oblastí na segmenty.

Posledním tématem Apolloniových kuželoseček, které je třeba zvážit, je jeho zacházení s tangenty. Toto téma rozvíjí v knize I a knize V. Kniha V zavádí myšlenku „maximálních“ a „minimálních“ čar, které odkazují na tangenty a normály. Tato kniha, kterou Eves považoval za „nejpozoruhodnější a nejoriginálnější“ ze sedmi, které dnes máme, se rychle stává velmi obtížným na čtení a následování. Propozice a vztahy, které dokazuje, které jsou dnes snadněji ukázány pomocí diferenciálního počtu, jsou důkladně prozkoumány klasickým řeckým geometrickým způsobem (Heath, 1961, s. Lxxv-lxxvi). Předběžné věty však není příliš obtížné dodržet. Nejprve se podíváme na dvě tvrzení z první knihy týkající se tečen (jedna bude uvedena a prodiskutována, druhá formálně prokázána) a poté se podíváme na jednu Knihovu větu.

Návrh 11 uvádí: Pokud je skrz konec průměru jakéhokoli kužele rovnoběžná s pořadnicemi k tomuto průměru nakreslena přímka, přímka se dotkne kuželu a mezi ním a kuželem nemůže spadnout žádná jiná přímka (Heath, 1961, s. 22). To znamená, že žádná přímka se nevejde mezi tečnou a křivkou, ke které je tečná. Vypadá to jako rozumné tvrzení související s definicí tečné přímky použité později ve vývoji počtu (i když mimo jiné příliš rozsahem „globálního“).

Apollonius to dokazuje ve dvou případech, jeden pro parabolu a jeden pro elipsu, hyperbolu a kruh [zajímavé, že by zahrnul kruh].

Tvrzení 12: Pokud bod T vezmeme na průměr paraboly mimo křivku a usoudíme, že TP = PV, kde V je úpatí osy od Q do průměru PV, čára TQ se dotkne paraboly.

Musíme dokázat, že vytvořená přímka TQ nebo TQ nespadá do křivky ani na jedné straně Q.

Pokud je to možné, nechejte K, bod na TQ nebo TQ, spadat do křivky a skrz K nakreslit Q'KV 'rovnoběžně se souřadnicí a splňující průměr ve V' a křivku v Q '.

Poté Q'V '& sup2: QV & sup2> KV' & sup2: QV & sup2, hypotézou,> TV '& sup2: TV & sup2

Proto 4TP.PV ': 4TP.PV> TV' & sup2: TV & sup2

Ale protože hypotéza TV 'není rozdělena do P,

což je absurdní. TQ proto v žádném bodě nespadá do křivky, a je tedy tangens.

Údaj pro tento důkaz rozporem lze překreslit, aby ukázal, co se předpokládá, že na TQ existuje bod K tak, že K leží uvnitř paraboly. Potom sestrojíme KQ'V 'rovnoběžně s ordinátní QV.

Potom za předpokladu, že Q'V '> KV', daný TP = PV a podobné trojúhelníky TVP a TV'Q ', dospějeme k rozporu.

Nyní přejdeme ke knize V, abychom získali pocit Apolloniovy představy minima s jednoduchým případem konceptu:

Tvrzení 82 Pokud je v parabole E bod na ose takový, že AE se rovná polovině latus rekta, pak minimální přímka od E ke křivce je AE, a pokud P je jakýkoli jiný bod křivky, PE roste, jak se P pohybuje dále od A na obou stranách. Také pro jakýkoli bod:

Nechť AL je parametr nebo latus konečník. Poté PN & sup2 = AL.AN = 2AE.AN

Přidáním EN & sup2 máme EN & sup2 = 2AE.AN + EN & sup2 = 2AE.AN + (AE - AN) & sup2 = AE & sup2 + AN

Tedy PE & sup2> AE & sup2 a zvyšují se s AN, tj. Jak se P pohybuje dále a dále od A. Také minimální hodnota PE je AE, nebo AE je nejkratší přímka od E ke křivce.

[V tomto návrhu, stejně jako v mnoha dalších v knize V, Apollonius zvažuje tři případy, kde N je mezi A a E, kde N se shoduje s E a PE (kolmo na osu) a kde AN je větší než AE-budeme zvažte pouze tento jeden případ pro stručnost]

Důkaz začíná uvedením obecného vztahu mezi ordinátou, abscisou a latus rektem paraboly. Jedná se o speciální případ paraboly, ve které je E zvoleno na průměru tak, že AE je polovina latus konečníku, což se odráží v přepsání původního vztahu. Protože PN je kolmá na PE, EN & sup2 se přidá na obě strany rovnice a díky Pythagorově větě se levostranná rovnice zmenší na PE & sup2. Zbytek důkazu následuje snadno.

Závěr

Tento článek se pokusil poskytnout systematický úvod do práce řeckých geometrů zapojených do vývoje teorie kónických řezů. Začalo to prací Menaechmusa, který nejprve pomocí kuželek vyřešil zdvojnásobení krychle. Není známo, kolik vlastností kuželek znal, ačkoli se obecně uznává, že věděl, že pocházejí z řezání kužele. Po Menaechmusovi se Aristaeus a Euclid formalizovali a rozšířili na kužely (Aristaeus byl originálnější). Poté přišel velký Archimedes, který použil elementární teorii kuželoseček k vývoji důležitých konceptů o parabolách a rozšířil to daleko za rámec tohoto článku. Vyvrcholení tématu bylo v rukou Apollónia, který v osmi svazcích důsledně rozvinul vše, co bylo o kuželovitých částech před ním známo, a přidal k němu množství propozic, které byly původní (věříme), a to ve skutečnosti tolik Eves poznamenává: „Pojednání je podstatně úplnější než obvyklý současný vysokoškolský kurz v předmětu“.

Po éře těchto velkých matematiků došlo k zastavení růstu kuželoseček až do Pappuse. Rozšířil mnoho z toho, co bylo známo, a také se ukázal být cenným zdrojem pro moderní matematické historiky, kteří se snaží seznámit s řeckými metodami. S pominutím Pappuse a snad Proclusa kuželoviny zmizely na více než 1000 let, než se znovu narodily v 15. a 16. století. Ačkoli práce vědců a matematiků, jako Keplera, který byl oba, kužely se vyvinuly z nového intelektuálního cvičení ve starověkém Řecku na účinný modelovací nástroj pro vysvětlení fyzikálních zákonů vesmíru.

Vybrané předmluvy ke kónickým sektám (přeloženo Halleyem, vytištěno v Heath)

Apollonius Eudemovi, pozdrav.

Pokud jste v dobrém zdravotním stavu a okolnosti jsou v jiných ohledech, jak si přejete, je dobře, že se také mám snesitelně dobře.Když jsem byl s vámi v Pergamu, všiml jsem si, že se dychtíte seznámit s mou prací v kuželovitosti, a proto vám posílám první knihu, kterou jsem opravil, a zbývající knihy pošlu, až je dokončím ke své spokojenosti. Troufám si tvrdit, že jste nezapomněli na to, že jsem vám řekl, že jsem vyšetřování tohoto tématu provedl na žádost geometru Naucrata v době, kdy přišel do Alexandrie a zůstal u mě, a že po vypracování v osmi knihách jsem sdělil najednou jim, poněkud příliš uspěchaně, bez důkladné revize (protože byl na místě plavby), ale odložil vše, co mě napadlo, s úmyslem vrátit se k nim později. Proto nyní využívám příležitost čas od času publikovat každou část, jak se postupně opravuje. Ale protože se ukázalo, že některé další osoby, které byly také se mnou, získaly první a druhou knihu, než byly opraveny, nedivte se, že je najdete v jiné podobě.

První z osmi knih, z nichž první čtyři tvoří elementární úvod, první obsahuje způsoby vytváření tří sekcí a protilehlých větví [hyperboly-vřesoviště] a jejich základní vlastnosti byly zpracovány úplněji a obecněji než ve spisech jiných autorů druhá pojednává o vlastnostech průměrů a os sekcí, stejně jako o asymptotách a dalších věcech obecného významu a nezbytných pro stanovení mezí možnosti, a co mám na mysli o průměrech a osách, se dozvíte z této knihy. Třetí kniha obsahuje mnoho pozoruhodných teorémů užitečných pro syntézu pevných lokusů a stanovení mezí, nejvíce a nejhezčí z těchto vět jsou nové, a když jsem je objevil, zjistil jsem, že Euclid nevypracoval syntézu lokusu s ohledem na tři a čtyři řádky, ale jen náhodná část, a to neúspěšně: nebylo totiž možné, aby syntéza mohla být dokončena bez mých dalších objevů. Čtvrtá kniha ukazuje, v kolika ohledech se úseky kuželů navzájem setkávají a obvod kruhu, který obsahuje, navíc obsahuje další záležitosti, z nichž žádný nebyl projednán dřívějšími spisovateli, týkající se počtu bodů, ve kterých část kužele nebo obvod kruhu splňuje [opačné větve hyperboly-vřesoviště].

Zbytek [knih-Heath] je spíše suplusage [`` pokročilejší '', ale doslova implikuje rozšíření předmětu nad rámec pouhého podstatného-Heath ve formě poznámky pod čarou]: jedna z nich se poněkud plně zabývá minimy a maxima, jedna se stejnými a podobnými úseky kuželů, jedna s větami zahrnujícími stanovení mezí a poslední s určenými kuželovitými problémy.

Až budou všechny knihy publikovány, bude samozřejmě otevřeno těm, kteří je čtou, aby je posoudili podle svého individuálního přání. Rozloučení.

Apollonius Attalusovi, pozdrav.

V této páté knize jsem stanovil návrhy týkající se maximálních a minimálních přímek. Musíte vědět, že naši předchůdci a současníci se povrchně dotýkali zkoumání nejkratších linií a dokázali pouze to, jaké rovné čáry se dotýkají sekcí a naopak jaké vlastnosti mají, v důsledku čehož jsou tangenty. Pokud jde o mě, prokázal jsem tyto vlastnosti v první knize (aniž bych však v důkazech jakkoli používal nauku o nejkratších řádcích), protože jsem je chtěl umístit do těsného spojení s tou částí předmětu, v níž Zpracoval jsem výrobu tří kuželových řezů, abych současně ukázal, že v každé ze tří sekcí se objevuje bezpočet vlastností a potřebných výsledků, jako to dělají s odkazem na původní (příčný) průměr. Propozice, ve kterých diskutuji o nejkratších řádcích, které jsem rozdělil do tříd, a zabýval se každým jednotlivým případem pečlivou demonstrací, jsem také spojil jejich vyšetřování s vyšetřováním výše zmíněných největších linií, protože jsem se domníval, že ti, kteří toto pěstují věda je potřebovala pro získání znalostí o analýzách a určování problémů i pro jejich syntézu, bez ohledu na skutečnost, že předmět jednoho z těch, které se zdají být hodné studia pro ně samotné. Rozloučení.


Jak Řekové změnili myšlenku posmrtného života

Jejich tajné kulty pomáhají utvářet způsob, jakým přemýšlíme o tom, co se stane po smrti.

Svět starověkého Řecka byla naplněna bohy vedenými tyčícími se olympioniky - Zeusem, Hérou, Apollonem, Poseidonem, Athénou a dalšími obry mytologie. Vedle uctívání těchto božských obyvatel Olympu existovaly stovky kultů zaměřených na místní božstva a hrdiny.

Lidé se k těmto bohům modlili ze stejných důvodů, za jaké se modlíme dnes: za zdraví a bezpečnost, za prosperitu, za dobrou úrodu, za bezpečnost na moři. Většinou se modlili jako komunity a prostřednictvím obětí a obětí se snažili potěšit nevyzpytatelná božstva, o nichž věřili, že ovládají jejich životy.

Ale co se stane po smrti? V tomto se starověcí dívali na Háda, boha podsvětí, bratra Dia a Poseidona. Ale Hades neposkytoval žádné ujištění. Podle básníka Homera, zabaleného v mlhavé temnotě, střižené děsivou řekou Styx, byla říše Hádes („neviditelné“) místem „tlumící hrůzy“, kam běžní lidé - a dokonce i hrdinové - šli poté, co zemřeli.

Sympatický zájem o lidskou situaci nakonec vedl Řeky k přijetí nových forem náboženství a nových kultů. Posmrtný život, který již nebyl považován za neradostný osud, se stal spíše osobním hledáním. Tajemné kulty zahalené tajemstvím slibovaly návod, co přijde po smrti. Tajemné obřady byly silně emocionální a inscenované jako propracované divadlo. Tito velcí bohové na řeckém ostrově Samothrace se odehrávali v noci, přičemž cestu zasvěcencům ukazovala mihotající se pochodeň. Rituály střežené bolestí smrti zůstávají dodnes tajemné.

Ve čtvrtém století př. N. L. Se objevily kulty, které tvrdily, že nabízejí očistu tím, že očistí zasvěcené od skvrny lidstva. Základy pro nová náboženství padaly na místo. A když křesťanství smetlo starověký svět, neslo s sebou, spolu s vedením jediného božstva, zbytky starých přesvědčení: odplavení lidské korupce prostřednictvím mystických obřadů, různé osudy, které čekají na zasvěcené a nezasvěcené, a úctu k posvátné texty.


Podívejte se na video: Bohové a hrdinové antických mýtů: 12 olympských bohů (Leden 2022).